QCM : Résoudre un problème de divisibilité (8 questions)

Question 1

1. Pour découper des rubans de 630 cm et de 270 cm en morceaux de même longueur sans chute, quelle condition la longueur des morceaux doit-elle satisfaire ?

Elle doit diviser 630 et être un multiple de 270.

Elle doit être la différence entre 630 et 270.

Elle doit diviser à la fois 630 et 270.

Elle doit être un multiple commun de 630 et 270.

Explication

Une longueur convenable doit permettre de partager chaque ruban en un nombre entier de morceaux, donc diviser les deux longueurs. Un multiple commun ne garantit pas que les rubans puissent être découpés sans chute.

Answer

Elle doit diviser à la fois 630 et 270.

Question 2

2. Une personne propose des morceaux de 30 cm pour découper sans chute des rubans de 630 cm et de 270 cm. Quelle vérification permet de déterminer si cette longueur convient ?

Vérifier que 30 est égal à leur plus grande différence.

Vérifier que 30 divise la somme des deux longueurs.

Vérifier que 30 divise chacune des deux longueurs.

Vérifier que 30 est un multiple de chacune des deux longueurs.

Explication

La longueur proposée convient si chaque ruban contient un nombre entier de morceaux, ce qui revient à vérifier que 30 divise 630 et 270. Diviser leur somme ne suffit pas à garantir que chaque ruban soit découpé sans chute.

Answer

Vérifier que 30 divise chacune des deux longueurs.

Question 3

3. Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 630 ?

2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7

2 \times 3^2 \times 5 \times 11

2 \times 3^2 \times 5 \times 7

2 \times 3 \times 5^2 \times 7

Explication

La décomposition en facteurs premiers de 630 est $2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ . Remplacer le facteur 5 par $5^2$ donnerait un produit différent de 630.

Answer

$$2 \times 3^2 \times 5 \times 7$$

Question 4

4. En écrivant 630 comme un produit de facteurs premiers, quel exposant faut-il donner au facteur 3 ?

1, car 3 apparaît une fois dans la décomposition.

3, car 3 apparaît trois fois dans la décomposition.

2, car 3 apparaît deux fois dans la décomposition.

0, car 3 n’est pas un facteur premier de 630.

Explication

La décomposition de 630 comprend le facteur 3 deux fois, ce qui s’écrit $3^2$ . L’exposant 3 correspondrait à trois facteurs 3 et ne décrirait pas la décomposition de 630.

Answer

2, car 3 apparaît deux fois dans la décomposition.

Question 5

5. Dans la méthode fondée sur les décompositions en facteurs premiers, comment construit-on le plus grand diviseur commun de deux nombres ?

En additionnant leurs facteurs premiers communs avec, pour chacun, le plus petit exposant observé

En multipliant leurs facteurs premiers communs avec, pour chacun, le plus petit exposant observé

En multipliant tous leurs facteurs premiers distincts avec, pour chacun, le plus grand exposant observé

En conservant les facteurs premiers du premier nombre et en supprimant ceux du second

Explication

Le plus grand diviseur commun se construit à partir des facteurs premiers présents dans les deux décompositions, en retenant leur exposant le plus faible. Prendre les exposants les plus grands peut produire un multiple commun plutôt qu’un diviseur commun.

Answer

En multipliant leurs facteurs premiers communs avec, pour chacun, le plus petit exposant observé

Question 6

6. En découpant les rubans de 630 cm et de 270 cm en morceaux de 90 cm, combien de morceaux obtient-on au total ?

7 morceaux

10 morceaux

9 morceaux

12 morceaux

Explication

Le ruban de 630 cm fournit 7 morceaux et celui de 270 cm en fournit 3, soit 10 morceaux en tout. Le nombre 7 correspond au ruban rouge seul, et non à la somme des deux quantités.

Answer

10 morceaux

Question 7

7. Quel rôle joue la condition de divisibilité dans le découpage de deux rubans sans chute ?

Elle sert à répartir les morceaux en nombres égaux entre les deux rubans.

Elle permet de calculer la longueur totale des deux rubans avant leur découpage.

Elle garantit que chaque morceau a la même longueur et que les rubans sont utilisés sans reste.

Elle permet de choisir une longueur qui maximise le nombre total de morceaux obtenus.

Explication

Si la longueur choisie divise les deux rubans, chacun peut être découpé en morceaux égaux sans laisser de reste. Maximiser le nombre de morceaux n’est pas l’objectif de cette condition : cela dépend de la longueur retenue.

Answer

Elle garantit que chaque morceau a la même longueur et que les rubans sont utilisés sans reste.

Question 8

8. Quelle différence distingue la décomposition en facteurs premiers de 630 de son écriture comme produit de facteurs quelconques ?

Elle exprime 630 comme un produit de nombres dont chacun divise aussi 270.

Elle exprime 630 comme une somme de nombres premiers dont le total est égal à 630.

Elle exprime 630 comme un produit de diviseurs choisis pour obtenir le plus grand diviseur commun.

Elle exprime 630 comme un produit de nombres premiers, avec les répétitions indiquées par des exposants.

Explication

La décomposition en facteurs premiers écrit 630 comme un produit de facteurs premiers, ici avec l’exposant indiquant la répétition du facteur 3. Un produit de diviseurs quelconques peut représenter 630, mais ne constitue pas nécessairement une décomposition en facteurs premiers.

Answer

Elle exprime 630 comme un produit de nombres premiers, avec les répétitions indiquées par des exposants.

QCM : Résoudre un problème de divisibilité (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour découper des rubans de 630 cm et de 270 cm en morceaux de même longueur sans chute, quelle condition la longueur des morceaux doit-elle satisfaire ?

2. Une personne propose des morceaux de 30 cm pour découper sans chute des rubans de 630 cm et de 270 cm. Quelle vérification permet de déterminer si cette longueur convient ?

3. Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 630 ?

4. En écrivant 630 comme un produit de facteurs premiers, quel exposant faut-il donner au facteur 3 ?

5. Dans la méthode fondée sur les décompositions en facteurs premiers, comment construit-on le plus grand diviseur commun de deux nombres ?

6. En découpant les rubans de 630 cm et de 270 cm en morceaux de 90 cm, combien de morceaux obtient-on au total ?

7. Quel rôle joue la condition de divisibilité dans le découpage de deux rubans sans chute ?

8. Quelle différence distingue la décomposition en facteurs premiers de 630 de son écriture comme produit de facteurs quelconques ?

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