Fiche de révision : Suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de définition
2. Variations et représentation graphique
3. Raison et récurrence arithmétique
4. Terme général et calcul d’indice
5. Modélisation par une suite arithmétique

📖 1. Définition et modes de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction dont la variable est un entier naturel, et dont l’image de n, notée u(n) ou u_n, est le terme général de la suite.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie par une formule explicite u(n)=f(n) ou par récurrence, à partir d’un premier terme et d’une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.

Compléments

• Pour la suite définie par u(n)=n^2, les termes u_0, u_1, u_2 et u_3 valent respectivement 0, 1, 4 et 9.

📖 2. Variations et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une suite : Dans un repère du plan, la représentation graphique d’une suite est le nuage des points de coordonnées (n ; u(n)) pour n entier naturel, sans relier les points.
• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n+1} est supérieur ou égal à u_n.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n+1} est inférieur ou égal à u_n.
• Suite constante : Une suite est constante lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_n.

📝 Points essentiels

• Les points représentant les termes d’une suite arithmétique sont alignés.

💡 Astuce mémo

Suite quelconque : points isolés ; suite arithmétique : points alignés.

📖 3. Raison et récurrence arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s’obtient en ajoutant une constante r, appelée raison, au terme précédent.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r, $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout indice n concerné.

Compléments

• Si u_0=4 et r=5, alors u_1=9, u_2=14 et u_3=19.

💡 Astuce mémo

Un même pas r relie chaque terme au suivant.

📖 4. Terme général et calcul d’indice

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, $u_n=u_0+nr$ pour tout n∈ℕ.

Compléments

• Pour trouver le premier indice où une suite arithmétique dépasse un seuil, on écrit l’inégalité sur u_n, on la résout en n, puis on retient le premier indice entier qui la vérifie.

• Pour u_n=45+12n, le premier terme strictement supérieur à 12 000 a pour indice 997.

📖 5. Modélisation par une suite arithmétique

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique est croissante si r>0, constante si r=0 et décroissante si r<0.

Compléments

📌 Une suite arithmétique a le même sens de variation que la fonction affine f(x)=rx+u_0 qui lui est associée.

• Pour modéliser une production augmentant chaque année d’une quantité constante, on prend la production initiale comme premier terme et l’augmentation annuelle comme raison, puis on applique la formule du terme général.

• Dans le modèle donné, la production éolienne française vaut 36,8 TWh en 2021 et augmente de 1,9 TWh par an.

• Le modèle de production éolienne donne p_n=36,8+1,9n et prévoit 53,9 TWh en 2030.