QCM : Suites arithmétiques et géométriques (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour représenter graphiquement une suite numérique, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nuage de points place les valeurs uₙ en abscisse et les rangs n en ordonnée.
Le terme de rang 4 est représenté par le point de coordonnées (u₄ ; 4).
Chaque point associe le rang n à la valeur du terme uₙ.
Le terme de rang 4 est représenté par le point de coordonnées (4 ; u₄).
Dans le nuage, le terme qui précède uₙ est placé au rang n+1.

Chaque point associe le rang n à la valeur du terme uₙ. · Le terme de rang 4 est représenté par le point de coordonnées (4 ; u₄).

Explication

La représentation associe à chaque rang n la valeur uₙ, donc les coordonnées sont (n ; uₙ). Les valeurs uₙ en abscisse et les rangs n en ordonnée inversent ces coordonnées. Le premier terme est de rang 1, et non de rang 0. Le terme de rang 4 correspond au point (4 ; u₄). Le terme qui précède uₙ est de rang n−1, et non de rang n+1.

2. Une suite arithmétique a pour premier terme 5 et pour raison 2. Concernant son terme de rang 6 et la somme de ses six premiers termes :

La somme des six premiers termes se calcule avec la moyenne des premier et dernier termes, multipliée par 6.
Le terme de rang 6 s’obtient en ajoutant cinq fois la raison au premier terme.
Le terme de rang 6 vaut 17, car la raison est ajoutée six fois au premier terme.
La somme des six premiers termes vaut 60, puisque le dernier terme vaut 15.
Le terme de rang 6 vaut 15, en appliquant la formule du terme général.

La somme des six premiers termes se calcule avec la moyenne des premier et dernier termes, multipliée par 6. · Le terme de rang 6 s’obtient en ajoutant cinq fois la raison au premier terme. · La somme des six premiers termes vaut 60, puisque le dernier terme vaut 15. · Le terme de rang 6 vaut 15, en appliquant la formule du terme général.

Explication

Le terme de rang 6 vaut 5 + (6 − 1) × 2 = 15, soit cinq ajouts de la raison. La somme vaut 6 × (5 + 15) / 2 = 60 ; ajouter six fois la raison donnerait à tort 17.

3. Lors d’un ajustement affine, les points représentant une suite ont un coefficient de détermination r² égal à 1. Parmi les propositions suivantes concernant cette suite, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le coefficient de détermination indique que la suite n’est pas arithmétique.
L’alignement des points et r² égal à 1 sont associés à une suite arithmétique.
Un coefficient de détermination différent de 1 caractérise ici une suite arithmétique.
La suite est arithmétique, puisque ses points sont alignés lors de l’ajustement affine.
Les points représentant la suite sont alignés lors de l’ajustement affine.

L’alignement des points et r² égal à 1 sont associés à une suite arithmétique. · La suite est arithmétique, puisque ses points sont alignés lors de l’ajustement affine. · Les points représentant la suite sont alignés lors de l’ajustement affine.

Explication

Pour une suite arithmétique, les points sont alignés lors de l’ajustement affine et le coefficient de détermination vaut 1. Un coefficient différent de 1 correspond, dans la distinction étudiée, à une suite non arithmétique.

4. Une suite arithmétique a pour raison r=−3r=-3. Concernant son sens de variation, quelles propositions sont exactes ?

La suite est constante, car une raison négative annule les écarts entre ses termes.
La suite est croissante, car une raison négative entraîne une hausse des termes.
La suite est décroissante, car sa raison est négative.
La suite est décroissante, car une raison positive fait baisser les termes successifs.
La suite est croissante, car une raison négative fait augmenter les termes successifs.

La suite est décroissante, car sa raison est négative.

Explication

Une suite arithmétique de raison négative est décroissante. Une raison négative n’entraîne pas une croissance ni une constance, et la décroissance ne découle pas d’une raison positive.

5. Le prix d’un abonnement est diminué de 5%5\% chaque mois, toujours par rapport au mois précédent. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes concernant les prix mensuels ?

Le coefficient d’évolution reste le même d’un mois au suivant.
La diminution répétée en pourcentage entraîne une relation multiplicative entre termes consécutifs.
Les prix successifs forment une suite arithmétique, car la variation est un pourcentage constant.
Les prix successifs forment une suite géométrique en raison de l’évolution répétée en pourcentage.
Une baisse exprimée en pourcentage ajoute une même somme à chaque prix mensuel.

Le coefficient d’évolution reste le même d’un mois au suivant. · La diminution répétée en pourcentage entraîne une relation multiplicative entre termes consécutifs. · Les prix successifs forment une suite géométrique en raison de l’évolution répétée en pourcentage.

Explication

Une évolution répétée en pourcentage applique le même coefficient multiplicateur à chaque terme, ce qui produit une suite géométrique. Une suite arithmétique repose sur l’ajout d’une constante, et non sur une baisse proportionnelle.

6. Un montant diminue de 12%12\% à chaque période. Concernant la raison géométrique qui modélise cette évolution :

La raison vaut 12100=0,12\frac{12}{100}=0{,}12, car le taux représente directement le coefficient.
La raison vaut 1+12100=1,121+\frac{12}{100}=1{,}12, car il s’agit d’une diminution de 12%12\%.
La raison vaut 1−12100=0,881-\frac{12}{100}=0{,}88, selon le coefficient multiplicateur d’une diminution.
La raison vaut 0,880{,}88 et cette évolution définit une suite arithmétique.
La raison vaut 1−12=−111-12=-11, en retirant le taux entier à l’unité.

La raison vaut $$1-\frac{12}{100}=0{,}88$$, selon le coefficient multiplicateur d’une diminution.

Explication

Pour une diminution de p%p\%, la raison est q=1−p100q=1-\frac{p}{100} ; avec p=12p=12, on obtient q=0,88q=0{,}88. Ajouter le taux correspond à une augmentation, tandis que 0,120{,}12 ne représente que le taux sous forme décimale. Une évolution répétée en pourcentage définit une suite géométrique, et non une suite arithmétique.

7. Une suite géométrique a pour premier terme u1=5u_1=5 et pour raison q=2q=2. Parmi les propositions suivantes concernant son terme de rang nn, lesquelles sont exactes ?

Le terme de rang nn s’écrit un=5×2n−1u_n=5\times 2^{n-1}.
Le terme de rang 66 s’obtient par 5×25=1605\times 2^5=160.
Pour calculer u4u_4, on obtient 5×24=805\times 2^4=80.
Le terme de rang nn s’écrit un=5×2nu_n=5\times 2^n.
Pour calculer u4u_4, on obtient 5×23=405\times 2^3=40.

Le terme de rang $$n$$ s’écrit $$u_n=5\times 2^{n-1}$$. · Le terme de rang $$6$$ s’obtient par $$5\times 2^5=160$$. · Pour calculer $$u_4$$, on obtient $$5\times 2^3=40$$.

Explication

La formule est un=u1qn−1u_n=u_1q^{n-1}, donc ici un=5×2n−1u_n=5\times2^{n-1}. Ainsi u4=5×23=40u_4=5\times2^3=40 et u6=5×25=160u_6=5\times2^5=160 ; les calculs utilisant l’exposant nn oublient le décalage d’un rang.

8. Pour représenter graphiquement une suite dont les premiers termes sont u1=4u_1=4, u2=7u_2=7 et u3=5u_3=5, quelles démarches sont exactes ?

On place les points de coordonnées (1;4)(1;4), (2;7)(2;7) et (3;5)(3;5).
On relie les termes successifs et l’on étudie la pente des segments obtenus.
L’abscisse de chaque point correspond au rang du terme représenté.
On place les points de coordonnées (4;1)(4;1), (7;2)(7;2) et (5;3)(5;3).
On observe l’évolution des ordonnées pour étudier les variations de la suite.

On place les points de coordonnées $$(1;4)$$, $$(2;7)$$ et $$(3;5)$$. · L’abscisse de chaque point correspond au rang du terme représenté. · On observe l’évolution des ordonnées pour étudier les variations de la suite.

Explication

La représentation utilise les points (n;un)(n;u_n) : les rangs sont les abscisses et les valeurs des termes, les ordonnées. On observe l’évolution des ordonnées ; inverser les coordonnées ou remplacer cette méthode par l’étude de segments ne correspond pas à la démarche indiquée.

Révisez avec les flashcards

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Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Une suite logique de nombres appelés termes, numérotés par un indice indiquant leur rang.

Comment représente-t-on graphiquement une suite numérique ?

Par un nuage de points de coordonnées (n;un)(n;u_n).

Quand une suite est-elle croissante ?

Quand ses termes successifs augmentent.

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