QCM : Suites numériques et arithmétiques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment caractérise-t-on une suite numérique ?

Comme une fonction de ℕ vers ℕ qui associe à chaque entier naturel un entier naturel
Comme une fonction de ℕ vers ℝ qui associe à chaque entier naturel n un réel uₙ
Comme une fonction de ℝ vers ℕ qui associe à chaque réel un entier naturel
Comme une fonction de ℝ vers ℝ qui associe à chaque réel un nombre réel

Comme une fonction de ℕ vers ℝ qui associe à chaque entier naturel n un réel uₙ

Explication

Une suite numérique associe à tout entier naturel n un nombre réel uₙ : c’est une fonction de ℕ vers ℝ. Une fonction de ℝ vers ℝ a pour domaine les nombres réels, et ne correspond donc pas à cette définition.

2. Quelle différence distingue une suite explicite d’une suite définie par récurrence ?

La formule explicite donne la raison de la suite, tandis que la récurrence indique son sens de variation
La formule explicite donne directement un terme en fonction de n, tandis que la récurrence utilise le terme précédent
La formule explicite associe des réels aux entiers naturels, tandis que la récurrence associe des entiers aux réels
La formule explicite utilise le terme précédent, tandis que la récurrence donne directement chaque terme en fonction de n

La formule explicite donne directement un terme en fonction de n, tandis que la récurrence utilise le terme précédent

Explication

Une formule explicite permet de calculer directement uₙ à partir de n, alors qu’une relation de récurrence détermine un terme à partir du précédent. L’utilisation du terme précédent caractérise donc la récurrence, et non la formule explicite.

3. Quelle condition définit une suite croissante ?

Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ > uₙ
Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ ≥ uₙ
Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ ≤ uₙ
Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = uₙ

Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ ≥ uₙ

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est supérieur ou égal au terme qui le précède. La condition uₙ₊₁ > uₙ décrit une croissance stricte, plus exigeante que la définition donnée.

4. Pour étudier le sens de variation d’une suite, on calcule uₙ₊₁ − uₙ. Que conclut-on si cette différence est négative ?

La suite est constante
La suite est arithmétique
La suite est décroissante
La suite est croissante

La suite est décroissante

Explication

Une différence uₙ₊₁ − uₙ négative signifie que le terme suivant est inférieur au terme courant, ce qui indique une décroissance. Une différence constante caractériserait une suite arithmétique, mais elle n’est pas nécessairement négative.

5. Comment représente-t-on graphiquement une suite numérique ?

Par une courbe continue passant par les points de coordonnées (n ; uₙ)
Par les points de coordonnées (n ; uₙ), placés sans être reliés deux à deux
Par les points de coordonnées (n ; uₙ), reliés deux à deux par des segments
Par les points de coordonnées (uₙ ; n), placés sans être reliés deux à deux

Par les points de coordonnées (n ; uₙ), placés sans être reliés deux à deux

Explication

Chaque terme uₙ donne un point de coordonnées (n ; uₙ), et les points restent distincts sans être reliés deux à deux. Les relier par des segments donnerait une représentation continue plutôt que celle d’une suite.

6. Comment passe-t-on d’un terme au suivant dans une suite arithmétique de raison r ?

On multiplie le terme précédent par r, donc uₙ₊₁ = r uₙ
On ajoute n au terme précédent, donc uₙ₊₁ = uₙ + n
On ajoute uₙ au terme précédent, donc uₙ₊₁ = 2uₙ
On ajoute r au terme précédent, donc uₙ₊₁ = uₙ + r

On ajoute r au terme précédent, donc uₙ₊₁ = uₙ + r

Explication

Dans une suite arithmétique, chaque terme s’obtient en ajoutant la même constante r au terme précédent. Multiplier par r décrit une autre règle de génération et ne définit pas une suite arithmétique.

7. Quel critère permet de reconnaître qu’une suite est arithmétique ?

Le quotient uₙ₊₁ / uₙ est constant et égal à sa raison r
La somme uₙ₊₁ + uₙ est constante et égale à sa raison r
La différence uₙ₊₁ − uₙ est égale à n pour chaque entier naturel n
La différence uₙ₊₁ − uₙ est constante et égale à sa raison r

La différence uₙ₊₁ − uₙ est constante et égale à sa raison r

Explication

Une suite est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs est constante ; cette constante est la raison r. Un quotient constant correspond à un critère différent, qui ne définit pas une suite arithmétique.

8. Une suite arithmétique a pour raison r=−3r = -3. Quelle est la valeur de un+1−unu_{n+1}-u_n ?

n−3n-3
un−3u_n-3
33
−3-3

$$-3$$

Explication

Pour une suite arithmétique, la différence un+1−unu_{n+1}-u_n est égale à la raison r, donc ici à −3-3. L’expression un−3u_n-3 dépend du terme courant et n’est pas la valeur constante de la différence.

9. Une suite arithmétique a une raison strictement négative. Quel est son sens de variation ?

Elle est constante
Son sens de variation ne peut pas être déterminé
Elle est croissante
Elle est décroissante

Elle est décroissante

Explication

Une raison négative signifie que l’on ajoute une valeur négative à chaque terme, donc les termes diminuent et la suite est décroissante. Une suite constante correspond à une raison nulle, et non négative.

10. Une suite arithmétique commence par u0=4u_0=4 et a pour raison 22. Quelle formule permet de calculer la somme de ses nn premiers termes ?

Sn=u0+un−1S_n=u_0+u_{n-1}
Sn=u0+un−12S_n=\frac{u_0+u_{n-1}}{2}
Sn=n×u0+un−12S_n=n\times\frac{u_0+u_{n-1}}{2}
Sn=n×(u0+un−1)S_n=n\times(u_0+u_{n-1})

$$S_n=n\times\frac{u_0+u_{n-1}}{2}$$

Explication

La somme des nn termes, de u0u_0 à un−1u_{n-1}, est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. La somme des deux termes extrêmes sans facteur nn ne tient pas compte de tous les termes de la suite.

11. Quelle est la moyenne arithmétique de deux nombres aa et bb ?

ab2\frac{ab}{2}
a−b2\frac{a-b}{2}
a+b2\frac{a+b}{2}
a+ba+b

$$\frac{a+b}{2}$$

Explication

La moyenne arithmétique se calcule en additionnant les deux nombres puis en divisant leur somme par 22. L’expression a+ba+b donne leur somme, mais ne réalise pas la division nécessaire pour obtenir la moyenne.

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Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Une fonction de ℕ vers ℝ associant à chaque entier naturel n un réel noté uₙ.

Comment une suite explicite détermine-t-elle ses termes ?

Elle associe directement à chaque entier naturel n une expression de n.

Comment une suite définie par récurrence calcule-t-elle un terme ?

À partir du terme précédent.

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