Fiche de révision : Variations linéaires et fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des fonctions
2. Taux d’accroissement et variations
3. Fonctions affines et droites
4. Application à une entreprise
5. Suites arithmétiques et fonctions affines

📖 1. Vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : associe à chaque nombre réel x de 𝓓 un nombre réel et un seul noté f(x)
• Courbe représentative : l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que y = f(x)

★ À maîtriser

• L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble 𝓓 des valeurs de la variable pour lesquelles la fonction est définie.

Compléments

• Dans l’écriture d’une fonction, x est la variable et f(x) est l’image de x.

📖 2. Taux d’accroissement et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement d’une fonction f entre deux réels distincts a et b est le réel $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I tels que a < b, on a f(a) ≤ f(b).
• Fonction décroissante : Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I tels que a < b, on a f(a) ≥ f(b).

📝 Points essentiels

📌 Si le taux d’accroissement est positif ou nul pour tous a et b d’un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.

📌 Si le taux d’accroissement est négatif ou nul pour tous a et b d’un intervalle, alors la fonction est décroissante sur cet intervalle.

💡 Astuce mémo

Images dans le même ordre : croissante ; images dans l’ordre contraire : décroissante

📖 3. Fonctions affines et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : une fonction définie sur ℝ par f(x) = ax + b, où a et b sont deux réels

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

📌 Pour une fonction affine f(x) = ax + b, la fonction est croissante si a > 0, décroissante si a < 0 et constante si a = 0.

Compléments

• Pour f(x) = −x + 2, le coefficient directeur vaut −1, donc la fonction f est décroissante.

💡 Astuce mémo

Signe du coefficient directeur → sens de variation de la fonction affine

📖 4. Application à une entreprise

★ À maîtriser

📐 Formule — La demande est modélisée par $D(x) = -3x + 225$ et l’offre par $O(x) = x + 45$.

• La demande D est décroissante sur [0 ; 70] car son coefficient directeur vaut −3, donc une hausse du prix diminue la demande.

• L’offre O est croissante sur [0 ; 70] car son coefficient directeur vaut 1, donc une hausse du prix augmente le nombre de jeux pouvant être produits.

• Le prix de vente idéal est une solution de l’équation D(x) = O(x), car il égalise le nombre d’articles demandés et produits sans pénurie ni surplus.

Compléments

• Dans le modèle de l’entreprise, le prix de vente x appartient à l’intervalle [0 ; 70].

• Pour un prix de 10 €, la demande vaut 195 jeux et l’offre vaut 55 jeux, ce qui indique une production inférieure à la demande.

• Pour un prix de 60 €, la demande vaut 45 jeux et l’offre vaut 105 jeux, ce qui indique une production supérieure à la demande.

💡 Astuce mémo

Prix bas : demande supérieure à l’offre ; prix élevés : offre supérieure à la demande

📖 5. Suites arithmétiques et fonctions affines

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique est la version discrète d’une fonction affine : elle ne conserve que quelques points de la droite représentant la fonction affine.

• Pour la fonction affine f(x) = 2x + 1, le taux d’accroissement entre deux réels distincts a et b est constant et vaut 2.

• Le taux d’accroissement constant d’une fonction affine est le coefficient directeur de la droite qui représente cette fonction.

Compléments

• Pour une suite arithmétique de raison 2, la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut 2.

💡 Astuce mémo

Suite arithmétique : version discrète ; fonction affine : variation continue

📊 Tableaux de synthèse

Sens de variation d’une fonction affine