Analyse des Nombres Réels et Suites

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels
2. Majorants et minorants
3. Bornes et extrema
4. Propriétés de l'intervalle
5. Propriété de l'Archimède
6. Développement décimal
7. Densité des rationnels
8. Valeur absolue et distance
9. Concepts topologiques
10. Suites numériques
11. Monotonie des suites
12. Suites bornées et convergentes

📖 1. Nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel (R) : Ensemble des nombres pouvant représenter une quantité continue sur la ligne numérique, incluant rationnels et irrationnels.
• Majorant / Minorant : Un nombre $m$ est un majorant (resp. minorant) d’un ensemble $A \subset R$ si $m \geq a$ (resp. $m \leq a$) pour tout $a \in A$.
• Maximum / Minimum : Élément $M$ (resp. $m$) de $A$ tel que $M \geq a$ (resp. $m \leq a$) pour tout $a \in A$. $M$ est le plus grand (resp. $m$ le plus petit) de $A$.
• Supremum / Infimum : Plus petit majorant $\sup(A)$ (resp. plus grand minorant $\inf(A)$) d’un ensemble $A$, même si $\sup(A) \notin A$.
• Intervalle : Ensemble de la forme $[a, b]$, $[a, b[$, $]a, b]$, $]a, b[$, ou avec infinies, caractérisé par la continuité de tous ses points entre deux bornes.

📝 Points essentiels