Fiche de révision : Droites et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Équation réduite d’une droite
2. Déterminer une droite par ses points
3. Positions relatives des droites
4. Formes et coefficients du trinôme
5. Discriminant et racines du trinôme
6. Signe et variations du trinôme

📖 1. Équation réduite d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est le nombre $a$ dans sa forme réduite $y=ax+b$ et indique sa pente.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine d’une droite est le nombre $b$ dans sa forme réduite $y=ax+b$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La forme réduite d’une droite est $y=ax+b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

📖 2. Déterminer une droite par ses points

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux points distincts $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$ d’une droite, son coefficient directeur est $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ lorsque $x_2\ne x_1$.

• Pour déterminer l’équation d’une droite à partir de coordonnées, on calcule son coefficient directeur avec deux points, puis on détermine l’ordonnée à l’origine à l’aide des coordonnées d’un point.

💡 Astuce mémo

Deux points → coefficient directeur → équation

📖 3. Positions relatives des droites

★ À maîtriser

📌 Deux droites non verticales de même coefficient directeur sont parallèles ou confondues, tandis que deux droites de coefficients directeurs différents sont sécantes.

Compléments

• Deux droites non verticales de coefficients directeurs $a_1$ et $a_2$ sont perpendiculaires lorsque $a_1a_2=-1$.

💡 Astuce mémo

Même pente : parallèles ; pentes différentes : sécantes

📖 4. Formes et coefficients du trinôme

★ À maîtriser

• Un trinôme du second degré peut être écrit sous forme développée $ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$.

• Dans la forme développée $ax^2+bx+c$, $a$ est le coefficient de $x^2$, $b$ celui de $x$ et $c$ le terme constant.

Compléments

• La forme factorisée d’un trinôme est $a(x-x_1)(x-x_2)$ lorsqu’il admet les racines $x_1$ et $x_2$.

• La forme canonique d’un trinôme est $a(x-\alpha)^2+\beta$.

📖 5. Discriminant et racines du trinôme

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Pour un trinôme du second degré, si $\Delta>0$ il y a deux racines réelles, si $\Delta=0$ il y a une racine réelle double et si $\Delta<0$ il n’y a pas de racine réelle.

📐 Formule - Lorsque $\Delta\ge0$, les racines du trinôme sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📖 6. Signe et variations du trinôme

★ À maîtriser

• Le sommet de la parabole associée à $ax^2+bx+c$ a pour abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et pour ordonnée $\beta=f(\alpha)$.

• La parabole associée à un trinôme est tournée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.

Compléments

• La fonction du second degré décroît puis croît si $a>0$, et croît puis décroît si $a<0$, avec un changement au sommet.

• Le signe d’un trinôme se détermine à partir de ses racines et du signe de son coefficient $a$.