Fiche de révision : Factorisation par facteur commun

📋 Plan du Cours

1. Notions et règles de factorisation
2. Repérer le facteur commun
3. Construire le produit factorisé
4. Vérifier une factorisation
5. Exemples et expressions corrigées
6. Limites de la méthode

📖 1. Notions et règles de factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factoriser : Transformer une somme ou une différence en produit en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes.
• Terme : Une expression que l’on additionne ou que l’on soustrait dans une somme ou une différence.
• Facteur : Une expression qui intervient dans une multiplication.

★ À maîtriser

📐 Formule - La factorisation d’une somme vérifie $ka + kb = k(a + b)$.

Compléments

📐 Formule - La factorisation d’une différence vérifie $ka - kb = k(a - b)$.

💡 Astuce mémo

Factoriser : somme vers produit ; développer : produit vers somme.

📖 2. Repérer le facteur commun

★ À maîtriser

• Pour repérer un facteur commun, on écrit chaque terme comme un produit sans rien calculer, puis on cherche le facteur présent dans tous les termes.

📌 Quand plusieurs facteurs numériques conviennent, on choisit le plus grand pour éviter de laisser un facteur commun dans la parenthèse.

📌 Le facteur commun doit être présent dans tous les termes ; si un terme ne le contient pas, la méthode du facteur commun ne s’applique pas.

• Le facteur commun peut être :
  • un nombre
  • une lettre
  • un nombre et une lettre ensemble

Compléments

• Dans $8x - 12$, le facteur commun est 4, car 8 et 12 sont divisibles par 4.

• Dans $x^2 + 3x$, le facteur commun est x, car $x^2 = x \times x$ et le second terme contient aussi x.

• Dans $6x^2 + 9x$, le facteur commun est 3x, car chaque terme contient 3 et x.

📖 3. Construire le produit factorisé

★ À maîtriser

• 🔄 Pour écrire le produit factorisé :
  1. Placer le facteur commun devant une parenthèse.
  2. Écrire dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme.
  3. Conserver les signes qui séparent les termes.

📌 Si un terme est égal au facteur commun, il laisse 1 dans la parenthèse, car ce terme est le facteur commun multiplié par 1.

Compléments

📌 La parenthèse factorisée contient autant de termes que l’expression de départ.

• La factorisation de $8x - 12$ est $4(2x - 3)$, car $8x = 4 \times 2x$ et $12 = 4 \times 3$.

• Dans $7x + 7$, le facteur 7 donne $7(x + 1)$, car $7 = 7 \times 1$.

📖 4. Vérifier une factorisation

★ À maîtriser

• Pour vérifier une factorisation, on développe le produit obtenu en multipliant le facteur par chaque terme de la parenthèse et on compare le résultat à l’expression de départ.

• Remplacer la variable par un nombre dans les deux écritures peut révéler une erreur si les résultats diffèrent, mais une égalité pour cette valeur ne prouve pas que les expressions sont identiques.

Compléments

• Le développement de $4(2x - 3)$ donne $8x - 12$, donc cette factorisation retrouve l’expression de départ.

💡 Astuce mémo

Redévelopper prouve l’égalité ; tester une valeur ne donne qu’un indice.

📖 5. Exemples et expressions corrigées

📝 Points essentiels

• La factorisation de $5x + 20$ est $5(x + 4)$.

• La factorisation de $14a - 21b + 7$ est $7(2a - 3b + 1)$ ; la parenthèse garde trois termes, dont 1 issu de $7 = 7 \times 1$.

📖 6. Limites de la méthode

★ À maîtriser

• Dans $4x + 9$, aucun nombre autre que 1 ne divise à la fois 4 et 9, et le second terme ne contient pas x ; la méthode du facteur commun ne s’applique donc pas.

Compléments

• La méthode présentée porte sur le facteur commun et ne couvre pas les autres techniques de factorisation, notamment les identités remarquables.