Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques
2. Appartenance et inclusion
3. Démonstration par l’absurde
4. Encadrement décimal
5. Intervalles réels
6. Distance et valeur absolue

📖 1. Ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Entiers positifs.
• Entiers relatifs : Entiers positifs ou négatifs.
• Nombres décimaux : Nombres dont l’écriture à virgule comporte un nombre fini de chiffres et qui s’écrivent comme le quotient d’un entier par 1, 10, 100, 1000 ou une autre puissance de 10.
• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec a et b entiers relatifs et b non nul.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles numériques sont emboîtés selon la relation $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, et les réels comprennent aussi les irrationnels.

💡 Astuce mémo

Inclusion croissante : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Appartenance et inclusion

★ À maîtriser

• Les notations x ∈ A et A ⊂ B signifient respectivement que x appartient à A et que tous les éléments de A appartiennent à B.

• On a N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, tandis que l’ensemble I des irrationnels n’est pas inclus dans Q.

Compléments

• Sur une droite graduée, chaque point correspond à un unique réel qui est son abscisse, et chaque réel correspond à un unique point de la droite.

• Les exemples 3 ∈ N, -7 ∈ Z, π ∈ R, 1/3 ∉ D et √2 ∉ Q illustrent les relations d’appartenance aux ensembles numériques.

💡 Astuce mémo

x ∈ A concerne un élément ; A ⊂ B concerne un ensemble

📖 3. Démonstration par l’absurde

📝 Points essentiels

• Pour démontrer par l’absurde que 1/3 n’est pas décimal, on suppose d’abord que 1/3 = a/10^k avec a et k entiers naturels, puis on obtient 10^k = 3a.

📌 Comme 10^k vaut 1, 10, 100 ou une autre puissance de 10, la somme de ses chiffres vaut 1 et 10^k n’est pas un multiple de 3.

• L’égalité 10^k = 3a impliquerait que 10^k est un multiple de 3, ce qui contredit le critère de divisibilité par 3 ; on conclut donc que 1/3 n’est pas décimal.

💡 Astuce mémo

Supposition contraire → contradiction → conclusion

📖 4. Encadrement décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Relation a ≤ x ≤ b où a est la borne inférieure, b la borne supérieure et b − a l’amplitude de l’encadrement.

★ À maîtriser

• L’encadrement 1,414 ≤ √2 < 1,415 encadre √2 à 10^-3 près.

Compléments

• L’encadrement 3,14 ≤ π ≤ 3,15 est plus précis que 0 ≤ π ≤ 10.

📖 5. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b, avec ses deux extrémités incluses.

📝 Points essentiels

• L’intervalle ouvert ]a ; b[ contient les réels x tels que a < x < b et exclut ses deux extrémités.

• Les symboles +∞ et -∞ ne sont pas des nombres ; les crochets placés devant eux sont donc toujours ouverts.

• Les correspondances usuelles sont x < b : ]-∞ ; b[, x ≥ a : [a ; +∞[, a ≤ x ≤ b : [a ; b], a < x < b : ]a ; b[, et a ≤ x < b : [a ; b[.

💡 Astuce mémo

Crochets fermés = extrémités incluses ; crochets ouverts = extrémités exclues

📖 6. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux réels : Différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres, notée |a − b|.
• Valeur absolue : Distance de ce réel à 0 sur la droite numérique, notée |x|.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distance entre a et b vérifie $|a-b|=b-a$ si b ≥ a et $|a-b|=a-b$ si a ≥ b.

📐 Formule — Pour tout réel x, $|x|=x$ si x ≥ 0 et $|x|=-x$ si x < 0.

📌 L’intervalle [a − r ; a + r] est l’ensemble des réels x tels que |x − a| ≤ r.

💡 Astuce mémo

Sur la droite numérique, la valeur absolue mesure la distance jusqu’à zéro

📊 Tableaux de synthèse

Inégalités et intervalles