QCM : Nombres réels et intervalles — 19 questions

Question 1

1. Pourquoi le nombre $\frac{2}{3}$ appartient-il à $\mathbb{Q}$ ?

Son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres.

Il est un entier relatif positif appartenant à

\mathbb{Z}

.

Il s’écrit comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul.

Il correspond à un nombre irrationnel situé dans

\mathbb{R}

.

Explication

Un rationnel peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b$ non nul, ce qui est le cas de $\frac{2}{3}$ . Son écriture décimale est périodique et non finie, donc il n’est pas décimal.

Answer

Il s’écrit comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul.

Question 2

2. Quelle condition caractérise un nombre décimal appartenant à $\mathbb{D}$ ?

Il s’écrit comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul.

Il possède une écriture à virgule avec une infinité de chiffres périodiques.

Il est nécessairement positif et dépourvu de partie décimale.

Son écriture à virgule comporte un nombre fini de chiffres.

Explication

Un nombre décimal possède une écriture à virgule finie et peut s’écrire avec un dénominateur égal à une puissance de 10. L’écriture comme quotient de deux entiers définit plus largement les rationnels.

Answer

Son écriture à virgule comporte un nombre fini de chiffres.

Question 3

3. Quel intervalle représente la condition $x<b$ ?

[b\ ;\ +\infty[

]-\infty\ ;\ b[

]-\infty\ ;\ b]

]b\ ;\ +\infty[

Explication

La condition $x<b$ correspond aux réels situés avant $b$ , sans inclure $b$ , donc à $]-\infty\ ;\ b[$ . Le crochet devant $b$ doit être ouvert puisque l’inégalité est stricte.

Answer

$$]-\infty\ ;\ b[$$

Question 4

4. Dans une démonstration par l’absurde de la non-décimalité de $\frac{1}{3}$ , quelle hypothèse initiale faut-il poser ?

Supposer que

\frac{1}{3}

est un entier naturel représenté par

10^k

.

Supposer qu’il existe des entiers relatifs

a

et

k

tels que

\frac{1}{3}=\frac{a}{3^k}

.

Supposer qu’il existe des entiers naturels

a

et

k

tels que

\frac{1}{3}=\frac{a}{10^k}

.

Supposer que

\frac{1}{3}

possède une écriture décimale périodique infinie.

Explication

Pour établir une contradiction, on suppose que $\frac{1}{3}$ est décimal, donc qu’il s’écrit $\frac{a}{10^k}$ avec $a$ et $k$ naturels. Cette hypothèse conduit ensuite à l’égalité $10^k=3a$ .

Answer

Supposer qu’il existe des entiers naturels $$a$$ et $$k$$ tels que $$\frac{1}{3}=\frac{a}{10^k}$$.

Question 5

5. Pourquoi les crochets placés devant $+\infty$ et $-\infty$ sont-ils ouverts ?

Parce que ces symboles ne représentent pas des nombres réels

Parce que les bornes infinies sont incluses par convention

Parce que l’infini appartient toujours à l’intervalle considéré

Parce qu’un intervalle ne peut contenir aucun nombre infini

Explication

Les symboles $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres, donc ils ne peuvent pas être des extrémités incluses. Le crochet est par conséquent ouvert du côté de l’infini.

Answer

Parce que ces symboles ne représentent pas des nombres réels

Question 6

6. Quelle affirmation est correcte concernant les ensembles rationnels et irrationnels ?

\mathbb{I}

n’est pas inclus dans

\mathbb{Q}

.

\mathbb{N}

contient des nombres irrationnels.

\mathbb{D}

contient des nombres qui ne sont pas rationnels.

\mathbb{Q}

n’est pas inclus dans

\mathbb{R}

.

Explication

L’ensemble des irrationnels $\mathbb{I}$ n’est pas inclus dans $\mathbb{Q}$ , car les irrationnels ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux entiers. En revanche, $\mathbb{Q}$ est inclus dans $\mathbb{R}$ .

Answer

$$\mathbb{I}$$ n’est pas inclus dans $$\mathbb{Q}$$.

Question 7

7. Que signifie l’écriture $x \in A$ , par opposition à $A \subset B$ ?

Elle indique que

x

contient l’ensemble

A

.

Elle indique que tous les éléments de

A

sont dans

B

.

Elle indique que

x

est un élément de

A

.

Elle indique que les ensembles

A

et

B

sont égaux.

Explication

La notation $x \in A$ exprime l’appartenance d’un élément à un ensemble. La notation $A \subset B$ compare deux ensembles en indiquant que les éléments de $A$ appartiennent à $B$ .

Answer

Elle indique que $$x$$ est un élément de $$A$$.

Question 8

8. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

Sa position relative par rapport à un autre réel

Sa distance à zéro sur la droite numérique

Son opposé lorsqu’il est positif

Son carré lorsqu’il est négatif

Explication

La valeur absolue $|x|$ mesure la distance entre $x$ et zéro sur la droite numérique. Elle ne dépend donc pas d’un second réel et reste positive ou nulle, contrairement à un nombre signé.

Answer

Sa distance à zéro sur la droite numérique

Question 9

9. Dans un encadrement décimal $a \leq x \leq b$ , que représente l’amplitude de l’encadrement ?

La différence

b-a

entre les deux bornes

La différence

a-b

entre les deux bornes

La somme

a+b

des deux bornes

Le quotient

b \div a

des deux bornes

Explication

L’amplitude mesure la largeur de l’encadrement et se calcule par $b-a$ , puisque $b$ est la borne supérieure et $a$ la borne inférieure. La différence $a-b$ inverserait les bornes et donnerait généralement une valeur négative.

Answer

La différence $$b-a$$ entre les deux bornes

Question 10

10. Quelle expression donne la valeur absolue de $x$ lorsque $x<0$ ?

-x^2

x^2

x

-x

Explication

Pour un réel négatif, changer le signe donne sa distance à zéro, donc $|x|=-x$ . L’expression $x$ resterait négative et ne pourrait pas représenter cette distance.

Answer

L’hypothèse donnerait $$10^k=3a$$, donc une puissance de 10 serait un multiple de 3.

Answer

La somme de ses chiffres vaut 1, et elle n’est donc pas divisible par 3.

Answer

Ce sont les entiers positifs.

Answer

$$[a\ ;\ b[$$

Answer

$$a \leq x \leq b$$

Answer

Par la valeur absolue $$|a-b|$$

Answer

$$1,414 \leq \sqrt{2} < 1,415$$

Question 11

11. Quelle contradiction permet de conclure que $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal ?

L’hypothèse donnerait

10^k=3a

, donc

a

serait nécessairement négatif.

L’hypothèse donnerait

10^k=3a

, donc une puissance de 10 serait un multiple de 3.

L’hypothèse donnerait

10^k=3a

, donc

\frac{1}{3}

serait un entier naturel.

L’hypothèse donnerait

10^k=3a

, donc une puissance de 10 serait un nombre irrationnel.

Explication

L’égalité $10^k=3a$ imposerait que $10^k$ soit divisible par 3, alors que le critère de divisibilité montre le contraire. Cette contradiction invalide l’hypothèse selon laquelle $\frac{1}{3}$ serait décimal.

Question 12

12. Pourquoi une puissance de 10 n’est-elle pas un multiple de 3 dans cette démonstration ?

La somme de ses chiffres vaut 1, et elle n’est donc pas divisible par 3.

Son dernier chiffre est 0, ce qui exclut la divisibilité par 3.

Elle possède un nombre pair de chiffres, ce qui empêche la divisibilité par 3.

Elle contient un chiffre 3, ce qui empêche toute divisibilité par 3.

Explication

Toute puissance de 10 s’écrit avec un seul chiffre 1 suivi de zéros, donc la somme de ses chiffres vaut 1. Le critère de divisibilité par 3 montre alors qu’elle n’est pas un multiple de 3.

Question 13

13. Si $b\geq a$ , quelle expression donne la distance entre $a$ et $b$ ?

a-b

|a+b|

b-a

a+b

Explication

Lorsque $b$ est supérieur ou égal à $a$ , le plus grand nombre est $b$ , donc la distance vaut $b-a$ . L’expression $a-b$ serait négative ou nulle dans cette situation et ne représente pas la distance recherchée.

Question 14

14. Quelle propriété définit les entiers naturels notés $\mathbb{N}$ ?

Ce sont les entiers positifs ou négatifs.

Ce sont les nombres à écriture décimale finie.

Ce sont les nombres écrits comme un quotient d’entiers.

Ce sont les entiers positifs.

Explication

Les entiers naturels regroupent les entiers positifs. Les entiers relatifs peuvent aussi être négatifs, ce qui les distingue des naturels.

Question 15

15. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ mais pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

\frac{7}{3}

0{,}7

7

-7

Explication

$-7$ est un entier négatif, donc il appartient à $\mathbb{Z}$ et pas à $\mathbb{N}$ . Le nombre $7$ est naturel, tandis que les deux autres ne sont pas des entiers.

Question 16

16. Quel intervalle correspond à la condition $a\leq x<b$ ?

]a\ ;\ b]

[a\ ;\ b[

]a\ ;\ b[

[a\ ;\ b]

Explication

La borne $a$ est incluse car l’inégalité est large, tandis que $b$ est exclue car l’inégalité est stricte. On obtient donc $[a\ ;\ b[$ . L’intervalle $[a\ ;\ b]$ inclurait à tort la borne $b$ .

Question 17

17. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel $x$ à l’intervalle fermé $[a\ ;\ b]$ ?

a \leq x < b

a < x \leq b

a < x < b

a \leq x \leq b

Explication

Un intervalle fermé contient ses deux extrémités, ce qui se traduit par $a \leq x \leq b$ . La condition $a < x < b$ décrit plutôt l’intervalle ouvert associé.

Question 18

18. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

Par la somme

a+b

Par le produit

a\times b

Par la valeur absolue

|a-b|

Par la différence orientée

a-b

Explication

La distance entre deux réels est la différence entre le plus grand et le plus petit, ce qui s’écrit $|a-b|$ . La différence $a-b$ seule peut être négative selon l’ordre des deux nombres.

Question 19

19. Quel encadrement montre que $\sqrt{2}$ est connu à $10^{-3}$ près ?

1,41 \leq \sqrt{2} < 1,42

1,4 \leq \sqrt{2} < 1,5

0 \leq \sqrt{2} < 2

1,414 \leq \sqrt{2} < 1,415

Explication

L’intervalle entre $1,414$ et $1,415$ a une amplitude de $0,001=10^{-3}$ . L’encadrement entre $1,41$ et $1,42$ est plus large et correspond à une précision moindre.

QCM : Nombres réels et intervalles — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi le nombre $\frac{2}{3}$ appartient-il à $\mathbb{Q}$ ?

2. Quelle condition caractérise un nombre décimal appartenant à $\mathbb{D}$ ?

3. Quel intervalle représente la condition $x<b$ ?

4. Dans une démonstration par l’absurde de la non-décimalité de $\frac{1}{3}$ , quelle hypothèse initiale faut-il poser ?

5. Pourquoi les crochets placés devant $+\infty$ et $-\infty$ sont-ils ouverts ?

6. Quelle affirmation est correcte concernant les ensembles rationnels et irrationnels ?

7. Que signifie l’écriture $x \in A$ , par opposition à $A \subset B$ ?

8. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

9. Dans un encadrement décimal $a \leq x \leq b$ , que représente l’amplitude de l’encadrement ?

10. Quelle expression donne la valeur absolue de $x$ lorsque $x<0$ ?

11. Quelle contradiction permet de conclure que $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal ?

12. Pourquoi une puissance de 10 n’est-elle pas un multiple de 3 dans cette démonstration ?

13. Si $b\geq a$ , quelle expression donne la distance entre $a$ et $b$ ?

14. Quelle propriété définit les entiers naturels notés $\mathbb{N}$ ?

15. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ mais pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

16. Quel intervalle correspond à la condition $a\leq x<b$ ?

17. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel $x$ à l’intervalle fermé $[a\ ;\ b]$ ?

18. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

19. Quel encadrement montre que $\sqrt{2}$ est connu à $10^{-3}$ près ?

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QCM : Nombres réels et intervalles — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi le nombre 23\frac{2}{3}32​ appartient-il à Q\mathbb{Q}Q ?

2. Quelle condition caractérise un nombre décimal appartenant à D\mathbb{D}D ?

3. Quel intervalle représente la condition x<bx<bx<b ?

4. Dans une démonstration par l’absurde de la non-décimalité de 13\frac{1}{3}31​, quelle hypothèse initiale faut-il poser ?

5. Pourquoi les crochets placés devant +∞+\infty+∞ et −∞-\infty−∞ sont-ils ouverts ?

6. Quelle affirmation est correcte concernant les ensembles rationnels et irrationnels ?

7. Que signifie l’écriture x∈Ax \in Ax∈A, par opposition à A⊂BA \subset BA⊂B ?

8. Que représente la valeur absolue d’un réel xxx ?

9. Dans un encadrement décimal a≤x≤ba \leq x \leq ba≤x≤b, que représente l’amplitude de l’encadrement ?

10. Quelle expression donne la valeur absolue de xxx lorsque x<0x<0x<0 ?

11. Quelle contradiction permet de conclure que 13\frac{1}{3}31​ n’est pas un nombre décimal ?

12. Pourquoi une puissance de 10 n’est-elle pas un multiple de 3 dans cette démonstration ?

13. Si b≥ab\geq ab≥a, quelle expression donne la distance entre aaa et bbb ?

14. Quelle propriété définit les entiers naturels notés N\mathbb{N}N ?

15. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}Z mais pas à l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}N ?

16. Quel intervalle correspond à la condition a≤x<ba\leq x<ba≤x<b ?

17. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel xxx à l’intervalle fermé [a ; b][a\ ;\ b][a ; b] ?

18. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels aaa et bbb ?

19. Quel encadrement montre que 2\sqrt{2}2​ est connu à 10−310^{-3}10−3 près ?

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1. Pourquoi le nombre $\frac{2}{3}$ appartient-il à $\mathbb{Q}$ ?

2. Quelle condition caractérise un nombre décimal appartenant à $\mathbb{D}$ ?

3. Quel intervalle représente la condition $x<b$ ?

4. Dans une démonstration par l’absurde de la non-décimalité de $\frac{1}{3}$ , quelle hypothèse initiale faut-il poser ?

5. Pourquoi les crochets placés devant $+\infty$ et $-\infty$ sont-ils ouverts ?

7. Que signifie l’écriture $x \in A$ , par opposition à $A \subset B$ ?

8. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

9. Dans un encadrement décimal $a \leq x \leq b$ , que représente l’amplitude de l’encadrement ?

10. Quelle expression donne la valeur absolue de $x$ lorsque $x<0$ ?

11. Quelle contradiction permet de conclure que $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal ?

13. Si $b\geq a$ , quelle expression donne la distance entre $a$ et $b$ ?

14. Quelle propriété définit les entiers naturels notés $\mathbb{N}$ ?

15. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ mais pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

16. Quel intervalle correspond à la condition $a\leq x<b$ ?

17. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel $x$ à l’intervalle fermé $[a\ ;\ b]$ ?

18. Comment calcule-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

19. Quel encadrement montre que $\sqrt{2}$ est connu à $10^{-3}$ près ?