Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes développée
2. Racines et forme factorisée
3. Somme et produit des racines
4. Forme canonique et sommet
5. Discriminant et résolution
6. Factorisation et signe

📖 1. Définition et formes développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et où a≠0.
• Forme développée : La forme développée d’une fonction polynôme du second degré est $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont ses coefficients.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’une fonction : Un réel x₁ est une racine de la fonction g si son image est nulle, c’est-à-dire si g(x₁)=0.

★ À maîtriser

📌 Si x₁ est une racine de g(x)=ax²+bx+c, alors g peut se factoriser par le facteur (x−x₁), sous la forme g(x)=(x−x₁)(ax+d).

📐 Formule — Si une fonction polynôme du second degré admet deux racines x₁ et x₂, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• La fonction $g(x)=2x^2-6x+9$ est un exemple de fonction polynôme du second degré à factoriser.

💡 Astuce mémo

Une racine donne un facteur ; deux racines donnent deux facteurs.

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines x₁ et x₂, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines x₁ et x₂, leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Les relations entre les coefficients et les racines se déduisent en développant $a(x-x_1)(x-x_2)$ puis en identifiant les coefficients.

• Pour $g(x)=2x^2-3x+1$, avec a=2, b=−3 et c=1, le produit des racines vaut $x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac12$.

💡 Astuce mémo

SP : Somme = -b/a, Produit = c/a

📖 4. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Expression $a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont des réels.

★ À maîtriser

• La complétion du carré consiste à regrouper les termes en x² et x, à ajouter et soustraire le carré de la moitié du coefficient de x, puis à factoriser le carré obtenu.

Compléments

📐 Formule — La forme canonique obtenue par complétion du carré est $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• La fonction $h(x)=4x^2-12x-27$ s’écrit sous forme canonique $h(x)=4\left(x-\frac32\right)^2-36$.

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → identifier α et β

📖 5. Discriminant et résolution

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour résoudre l’équation $ax^2+bx+c=0$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ<0, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle ; si Δ=0, elle a une solution réelle ; si Δ>0, elle a deux solutions réelles.

📐 Formule — Lorsque Δ=0, l’unique solution réelle est $x=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Lorsque Δ>0, les deux solutions réelles sont $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• L’équation $x^2-x-2=0$ a Δ=9 et possède les deux solutions x=2 et x=−1.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → distinguer son signe → déterminer les solutions

📖 6. Factorisation et signe

★ À maîtriser

• Si Δ<0, le trinôme $ax^2+bx+c$ ne se factorise pas dans ℝ ; si Δ=0, il s’écrit $a(x-x_0)^2$ ; si Δ>0, il s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$.

• Si Δ<0, le trinôme f(x)=ax²+bx+c garde le signe de a sur ℝ.

• Si Δ=0, le trinôme possède la racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et garde le signe de a de part et d’autre de x₀, avec une valeur nulle en x₀.

• Si Δ>0, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de x₁ et x₂, nul en x₁ et x₂, et du signe opposé à a entre x₁ et x₂.

Compléments

• Le trinôme $x^2-8x+16$ se factorise en $(x-4)^2$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : signe constant ; Δ=0 : racine double ; Δ>0 : changement de signe.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et solutions