QCM : Polynômes du second degré — 17 questions

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, comme dans la première expression. L’expression affine ne comporte pas de terme en $x^2$, tandis que les deux autres ne sont pas du second degré.

Explication

La forme développée est une somme de termes écrite $ax^2+bx+c$. L’expression avec deux facteurs est une forme factorisée, tandis que les autres formes ne correspondent pas à la forme développée demandée.

Explication

Un réel est une racine lorsque son image par la fonction est nulle, donc lorsque $g(x_1)=0$. Le sommet et les coefficients de la fonction décrivent d’autres propriétés qui ne définissent pas une racine.

Explication

Comme $g(x_1)=0$, le facteur associé à cette racine est $x-x_1$, ce qui donne $g(x)=(x-x_1)(ax+d)$. Le facteur $x+x_1$ correspondrait à une racine $-x_1$, et les autres expressions ne respectent pas la factorisation indiquée.

Explication

Deux racines $x_1$ et $x_2$ donnent les facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$, d’où $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Les autres écritures modifient les signes des racines ou ne correspondent pas à la forme factorisée attendue.

Explication

La somme des deux racines est liée aux coefficients par $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$. La quantité $\frac{c}{a}$ correspond au produit des racines, et non à leur somme.

Explication

Le produit des racines vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$. La relation $-\frac{b}{a}$ concerne leur somme, ce qui constitue la confusion la plus fréquente entre ces deux formules.

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$, tandis que $ax^2+bx+c$ est la forme développée. L’expression $a(x+\alpha)^2-\beta$ peut représenter une forme apparentée, mais elle ne reprend pas la convention canonique donnée.

Explication

La complétion du carré consiste à regrouper les termes en $x^2$ et en $x$, puis à ajouter et soustraire le carré de la moitié du coefficient de $x$ avant de factoriser. Calculer le discriminant permet de résoudre ou d’étudier le trinôme, mais ne décrit pas cette transformation algébrique.

Explication

Le discriminant d’un trinôme est défini par $\Delta=b^2-4ac$. Le quotient $\frac{b^2-4ac}{4a}$ intervient dans une écriture liée à la forme canonique, tandis que $\frac{-b}{2a}$ donne l’abscisse du sommet ou la racine double selon le contexte.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, l’équation possède une unique solution réelle, comptée comme une racine double. Deux solutions réelles distinctes correspondent au cas $\Delta>0$, tandis que $\Delta<0$ n’en fournit aucune.

Explication

Dans le cas $\Delta=0$, la racine double est $x=-\frac{b}{2a}$. L’expression $\frac{b}{2a}$ change le signe requis, et la formule contenant $\sqrt{\Delta}$ doit encore comporter le dénominateur $2a$.

Explication

Pour $\Delta>0$, les solutions sont obtenues avec $-b\pm\sqrt{\Delta}$ au numérateur et $2a$ au dénominateur. Remplacer la racine par $\Delta$ ou modifier le dénominateur produit des valeurs incorrectes.

Explication

Si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles distinctes et s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$. Lorsque $\Delta=0$, il prend plutôt la forme d’un carré, et lorsque $\Delta<0$, il ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.

Explication

Avec $\Delta<0$, le trinôme ne possède aucune racine réelle et conserve donc le signe de son coefficient directeur $a$ sur $\mathbb{R}$. Le changement de signe entre deux racines concerne le cas $\Delta>0$.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, le trinôme possède la racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et s’annule en ce point sans changer de signe. Le changement de signe lors du franchissement des racines caractérise plutôt deux racines réelles distinctes.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre $x_1$ et $x_2$. Il s’annule précisément aux deux racines, mais pas sur tout l’intervalle qui les sépare.