Produit scalaire et applications

📋 Plan du Cours

1. Calcul du produit scalaire
2. Normes et distances
3. Calcul et nature des angles
4. Orthogonalité des vecteurs
5. Triangles rectangles
6. Paramètre et orthogonalité
7. Projection d’un vecteur
8. Relation d’Al-Kashi
9. Lieux géométriques et angles

📖 1. Calcul du produit scalaire

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de $\vec{u}=(x_u,y_u)$ et $\vec{v}=(x_v,y_v)$ vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_ux_v+y_uy_v$.

• Pour calculer un produit scalaire, il faut identifier les vecteurs, appliquer la formule puis simplifier.

Compléments

• Pour $A(1{,}2)$, $B(4,-1)$, on obtient $\vec{AB}=(3,-3)$ et, avec $\vec{v}=(2{,}1)$, $\vec{AB}\cdot\vec{v}=3\times2+(-3)\times1=3$.

📖 2. Normes et distances

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme de $\vec{u}=(x_u,y_u)$ vérifie $\lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{x_u^2+y_u^2}$.

📐 Formule — La distance entre deux points $A$ et $B$ est la norme du vecteur $\vec{AB}$, soit $AB=\lVert\vec{AB}\rVert$.

Compléments

📐 Formule — La relation de développement d’une norme est $\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert^2=\lVert\vec{u}\rVert^2+\lVert\vec{v}\rVert^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}$.