Fiche de révision : Suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Notion de suite numérique
2. Définir et calculer une suite
3. Relation de récurrence arithmétique
4. Terme général et modélisation

📖 1. Notion de suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels appelés termes, comportant un premier, un deuxième, un troisième terme, etc.

📝 Points essentiels

• Les termes successifs d’une suite peuvent être notés u₀, u₁, u₂, et la suite elle-même est notée (uₙ).

📖 2. Définir et calculer une suite

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie soit par un premier terme et une relation de récurrence entre deux termes successifs, soit par une formule explicite donnant directement uₙ en fonction de n.

Compléments

• Pour la suite définie par u₀ = 5 et uₙ₊₁ = uₙ - 2, on calcule successivement u₁ = 3, u₂ = 1 et u₃ = -1.

• Pour la suite définie par uₙ = 4n - 1, on obtient u₀ = -1, u₁ = 3, u₂ = 7 et u₁₀ = 39.

💡 Astuce mémo

Récurrence : terme précédent → terme suivant ; formule explicite : n → terme directement

📖 3. Relation de récurrence arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dans laquelle on passe d’un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r lorsque, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n+r$.

Compléments

• Pour la suite arithmétique de raison -0,5 telle que c₀ = 3, on obtient c₁ = 2,5, c₂ = 2 et c₃ = 1,5.

💡 Astuce mémo

Ajout constant de la raison → suite arithmétique

📖 4. Terme général et modélisation

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique (Pₙ) de raison r, le terme général est $P_n=P_0+n\times r$.

• Dans le modèle de la population de Chambéry, P₀ = 59 000 en 2020 et la population augmente de 300 habitant·e·s par an, donc la raison est 300.

📌 Dans la situation de Chambéry, $P_{n+1}=P_n+300$ car la population augmente de 300 habitant·e·s chaque année.

Compléments

• Dans ce modèle, P₁ = 59 300, P₂ = 59 600, P₃ = 59 900 et P₈ = 61 400.

• La population de Chambéry atteindra 65 000 habitant·e·s dans 20 ans, car l’augmentation nécessaire est de 6 000 habitant·e·s et $6000\div300=20$.

💡 Astuce mémo

P₀ → P₁ → P₂ → … → Pₙ

📊 Tableaux de synthèse

Deux façons de définir une suite