Valeur absolue et distance

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Distance entre deux réels
3. Valeur absolue et intervalles

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : la distance OA entre l’origine O et le point A d’abscisse a, notée |a|

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un réel a, $|a|=a$ si a>0 et $|a|=-a$ si a<0.

Compléments

• On a $|4|=4$ et $|-√5|=√5$, tandis que $|2-π|=π-2$.

💡 Astuce mémo

Sur la droite graduée, la valeur absolue est la distance entre O et le point d’abscisse a.

📖 2. Distance entre deux réels

★ À maîtriser

📐 Formule — La distance entre deux réels a et b vérifie $d(a,b)=|a-b|=|b-a|$.

Compléments

• La distance entre 1,5 et 4 se calcule par $d(1{,}5;4)=|4-1{,}5|=|1{,}5-4|$.

💡 Astuce mémo

La distance est toujours positive, que l’on calcule a−b ou b−a.

📖 3. Valeur absolue et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de l’intervalle : Dans l’intervalle [a-r ; a+r] associé à |x-a|≤r, a est le centre et r est le rayon.

📝 Points essentiels

📌 Pour a∈R et r>0, la condition $|x-a|≤r$ signifie que x appartient à l’intervalle [a-r ; a+r].

• La condition $|x-5|≤2$ équivaut à x∈[5-2 ; 5+2]=[3 ; 7], ce qui signifie que la distance entre x et 5 est inférieure ou égale à 2.