Fiche de révision : Économie de l’incertain et du risque

📋 Plan du Cours

1. Utilité espérée et prime de risque
2. Aversion absolue au risque
3. Bruits blancs et transformations de richesse

📖 1. Utilité espérée et prime de risque

★ À maîtriser

• Les individus 1 et 2 ont chacun une richesse initiale de 100 et reçoivent le billet de loterie X, qui donne 1, 10 ou 100 avec une probabilité de 1/3 pour chaque valeur.

• L’individu 1 a pour fonction d’utilité $u_1(x)=\ln(x)$, tandis que l’individu 2 a pour fonction d’utilité $u_2(x)=\sqrt{x}$.

Compléments

• Pour chaque individu, la richesse aléatoire totale s’obtient en ajoutant la richesse initiale 100 à chacune des valeurs possibles du billet de loterie.

• La prime de risque associée à la richesse aléatoire se calcule pour chacun des deux individus à partir de sa fonction d’utilité, puis se compare pour déterminer lequel est le plus averse au risque.

📖 2. Aversion absolue au risque

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient d’aversion absolue au risque d’Arrow-Pratt d’une fonction d’utilité différentiable est $A(x)=-\frac{u''(x)}{u'(x)}$.

📌 Si $u$ est une transformation strictement croissante et concave de $v$, alors l’aversion absolue au risque d’Arrow-Pratt de $u$ est supérieure à celle de $v$.

Compléments

• Pour comparer l’aversion au risque de deux agents dans l’exercice, on calcule le coefficient d’Arrow-Pratt de chaque fonction d’utilité et on compare les coefficients obtenus.

📖 3. Bruits blancs et transformations de richesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Bruit blanc : Composante aléatoire d’espérance nulle qui transforme la distribution d’une richesse sans en modifier l’espérance.

★ À maîtriser

• Dans la construction de $W'$ à partir de $W=(10{,}20{,}30;0.1{,}0.7{,}0.2)$, la probabilité de la valeur 20 passe de 0.7 à 0.4, puis le poids retiré est réparti entre une nouvelle valeur 1 et une valeur $x$ choisie pour conserver l’espérance.

Compléments

• Le bruit blanc à ajouter à $W$ pour obtenir $W'$ se détermine en comparant les distributions de richesse avant et après la transformation.

• Les loteries $W=(0{,}4;0.5{,}0.5)$ et $W'=(1{,}9;7/8{,}1/8)$ sont à tester pour déterminer si l’une peut être obtenue à partir de l’autre par ajout d’un bruit blanc.

• Dans cette répartition du poids retiré, les deux tiers sont affectés à la nouvelle valeur 1 et le tiers restant à la valeur $x$.