Fiche de révision : Portefeuilles et indices boursiers

📋 Plan du Cours

1. Portefeuille et rendement pondéré
2. Corrélation et risque du portefeuille
3. Diversification et nature du risque
4. Frontière efficiente et variance minimale
5. Construction des indices boursiers
6. Grands indices et compositions
7. Gestion active et gestion passive
8. Mesure de la performance active

📖 1. Portefeuille et rendement pondéré

🔑 Notions clés & Définitions

• Portefeuille : Ensemble d’actifs financiers détenus simultanément.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le poids d’un actif est sa valeur détenue rapportée à la valeur totale du portefeuille, et les poids vérifient $\sum_{i=1}^{N} w_i = 1$.

📐 Formule - Le rendement d’un portefeuille est la moyenne pondérée des rendements de ses composants, avec les poids de début de période : $R_P = \sum_{i=1}^{N} w_i R_i$.

Compléments

• Les poids d’un portefeuille évoluent mécaniquement avec les cours, même si aucune transaction n’a lieu.

📖 2. Corrélation et risque du portefeuille

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : Mesure la tendance de deux rendements à s’écarter de leurs moyennes dans le même sens linéaire si elle est positive, en sens opposé linéaire si elle est négative, et sans lien linéaire si elle est nulle.
• Coefficient de corrélation : Covariance normalisée par le produit des écarts-types et vérifie $-1 \leq \rho_{AB} \leq 1$.

★ À maîtriser

📌 Une corrélation de +1 signifie que deux actifs évoluent toujours dans le même sens et dans la même proportion, une corrélation de −1 qu’ils évoluent en sens exactement opposé, et une corrélation nulle qu’ils n’ont aucun lien linéaire.

📐 Formule - Pour deux actifs, la variance d’un portefeuille vérifie $\sigma_P^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B$ et sa volatilité est $\sigma_P = \sqrt{\sigma_P^2}$.

• La volatilité d’un portefeuille est égale à la moyenne pondérée des volatilités de ses composants seulement lorsque leur corrélation vaut +1 ; elle lui est inférieure lorsque la corrélation est inférieure à +1.

Compléments

• Les corrélations entre actions tendent vers 1 en période de crise, ce qui limite les bénéfices de la diversification.

💡 Astuce mémo

Rendement : moyenne pondérée ; risque : terme de covariance.

📖 3. Diversification et nature du risque

🔑 Notions clés & Définitions

• Diversification : Harry Markowitz, 1952 - Consiste à répartir un portefeuille entre des actifs dont les rendements ne sont pas parfaitement corrélés afin de réduire le risque total sans réduire le rendement attendu.

★ À maîtriser

📌 Le risque idiosyncratique, spécifique ou diversifiable provient de facteurs propres à une entreprise ou à un secteur et peut être éliminé par diversification, tandis que le risque systématique, ou risque de marché, provient de facteurs communs aux actifs et subsiste quel que soit le nombre de titres détenus.

• La diversification efficace dépend de corrélations faibles entre secteurs, pays et classes d’actifs, et non du seul nombre de lignes détenues.

• Le marché ne rémunère pas le risque idiosyncratique éliminable gratuitement par diversification ; seul le risque systématique est rémunéré. - William Sharpe, MEDAF, 1964

Compléments

• Le bêta mesure l’exposition d’un actif au risque systématique.

📐 Formule - Le risque total est la somme du risque systématique et du risque idiosyncratique : $\text{Risque total} = \text{Risque systématique} + \text{Risque idiosyncratique}$.

💡 Astuce mémo

Corrélations imparfaites → compensation des risques spécifiques.

📖 4. Frontière efficiente et variance minimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Portefeuille efficient : Aucun autre portefeuille n’offre un rendement attendu supérieur pour la même volatilité ni une volatilité inférieure pour le même rendement attendu.
• Frontière efficiente : Ensemble des portefeuilles efficients qui délimite vers le haut et la gauche la région des portefeuilles possibles.
• Portefeuille à variance minimale : Celui qui présente la volatilité la plus faible parmi les portefeuilles formés avec les actifs disponibles et constitue l’extrémité gauche de la frontière efficiente.

★ À maîtriser

• Un portefeuille situé sous la frontière efficiente est dominé, car un autre portefeuille permet d’améliorer au moins une dimension sans dégrader l’autre.

Compléments

• Le choix d’un portefeuille sur la frontière efficiente dépend de la tolérance au risque de l’investisseur, et la frontière ne désigne pas à elle seule le portefeuille à choisir.

💡 Astuce mémo

Le PVM marque le point le plus à gauche de la frontière.

📖 5. Construction des indices boursiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice boursier : Portefeuille théorique composé selon des règles publiques et calculé pour représenter l’évolution d’un marché ou d’un segment de marché.
• Indice pondéré par les prix : Calculé en divisant la somme des cours de ses composants par un diviseur : $I_t = \frac{\sum_i P_{i,t}}{d}$.

★ À maîtriser

• Un indice est défini par :

  • l’univers des sociétés éligibles
  • la sélection des sociétés
  • leur pondération

• Dans un indice pondéré par les prix, le poids d’une société est proportionnel à son cours unitaire, indépendamment de sa taille.

📐 Formule - Dans un indice pondéré par la capitalisation, le poids d’une société est sa capitalisation rapportée à la capitalisation totale : $w_i = \frac{P_iN_i}{\sum_j P_jN_j}$.

Compléments

• Un indice boursier sert de : baromètre du marché, référence pour juger un gérant, support à des fonds indiciels ou à des produits dérivés

• Le diviseur d’un indice pondéré par les prix est ajusté lors d’une division du nominal ou du remplacement d’un composant afin d’éviter un saut artificiel de l’indice.

• Le Dow Jones Industrial Average, créé en 1896, et le Nikkei 225 sont des indices pondérés par les prix.

• Les grands indices pondérés par la capitalisation comprennent :

  • le S&P 500
  • le CAC 40
  • le DAX
  • l’Euro Stoxx 50
  • le MSCI World
  • le Nasdaq-100

• Le CAC 40 utilise la capitalisation flottante et plafonne le poids d’un composant à 15 %.

• Un indice pondéré par la capitalisation est auto-rééquilibré, car le poids d’une société augmente automatiquement quand son cours monte, sans transaction du gérant.

💡 Astuce mémo

Prix : cours unitaire ; capitalisation : taille boursière.

📖 6. Grands indices et compositions

★ À maîtriser

• À la fin de 2024, la répartition du MSCI World par pays était :

  • États-Unis : 72 à 74 %
  • Japon : 5 à 6 %
  • Royaume-Uni : 3,5 %
  • Canada : 3 %
  • France : 2,5 à 3 %
  • Suisse : 2,5 %
  • Allemagne : 2 %
  • autres pays : 8 %

• À la fin de 2024, les technologies de l’information représentaient 32 % du S&P 500, 8 % du Stoxx Europe 600 et 6 % du CAC 40 ; la consommation discrétionnaire représentait respectivement 11 %, 8 % et 25 %.

• Le S&P 500 est dominé par la technologie et la communication, qui représentent ensemble plus de 40 % de l’indice, tandis que le CAC 40 est dominé par le luxe.

Compléments

• Le S&P 500 comprend 500 sociétés et représente environ 80 % de la capitalisation américaine.

• Le CAC 40 comprend 40 sociétés, est calculé sur la capitalisation flottante avec un plafond de 15 % par composant et a une base de 1 000 au 31/12/1987.

• Le MSCI World regroupe environ 1 400 valeurs de 23 pays développés, tandis que le MSCI Emerging Markets regroupe environ 1 300 valeurs de 24 pays émergents.

• Le MSCI ACWI couvre le monde entier et comprend environ 2 700 valeurs ; il combine le MSCI World et les marchés émergents.

• À la fin de 2024, les États-Unis représentaient environ 72 à 74 % du MSCI World et les marchés émergents environ 10 % du MSCI ACWI, dont la Chine 3 %, l’Inde 2 % et Taïwan 2 %.

• À la fin de 2024, les dix premières capitalisations représentaient environ 35 à 37 % du S&P 500, contre 20 à 25 % dans les années 2000-2015.

📖 7. Gestion active et gestion passive

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de référence : Indice par rapport auquel la performance d’un fonds est mesurée et jugée.
• ETF : Fonds négociable en bourse comme une action, qui peut être indiciel passif ou géré activement.

★ À maîtriser

📌 La gestion active sélectionne des titres et des pondérations différentes de l’indice pour tenter de le battre, tandis que la gestion passive réplique aussi fidèlement que possible sa composition et sa performance.

Compléments

• Un fonds passif réplique un indice pondéré par la capitalisation en détenant chaque titre au prorata de son poids et intervient notamment lors des changements de composition et du réinvestissement des dividendes.

• Les frais annuels des ETF sur grands indices sont de 0,05 à 0,30 %, contre 1,5 à 2 % pour les fonds actions gérés activement en France.

• En 2024, plus de 50 % des encours des fonds actions américains relevaient de la gestion passive, contre moins de 20 % en 2005, et la proportion était d’environ 30 % en Europe.

• Selon les études SPIVA de S&P Dow Jones Indices, sur 15 ans environ 85 à 90 % des fonds actifs de grandes valeurs américaines font moins bien que le S&P 500, et en Europe environ 80 à 90 % des fonds actions font moins bien que leur indice sur 10 ans.

• Le marché est à somme nulle avant frais entre investisseurs, et la performance moyenne après frais est inférieure à celle du marché.

💡 Astuce mémo

Active : tenter de battre l’indice ; passive : le répliquer.

📖 8. Mesure de la performance active

🔑 Notions clés & Définitions

• Tracking error : Écart-type annualisé des différences entre les rendements du fonds et de son indice de référence : $\mathrm{TE} = \sigma(R_{\text{fonds}} - R_{\text{indice}})$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le ratio d’information est le rendement actif moyen divisé par la tracking error : $\text{Ratio d'information} = \frac{\hat{R}_{\text{fonds}} - \hat{R}_{\text{indice}}}{\text{TE}}$.

Compléments

• Une tracking error élevée indique une plus grande ampleur des paris pris par le gérant par rapport à l’indice.

• Un ratio d’information supérieur à 0,5 sur longue période est considéré comme très bon, tandis que la plupart des fonds actifs ont un ratio négatif après frais.

• Une surperformance ne s’évalue pas sans la tracking error, et sa persistance sur une longue période est informative alors qu’une seule année ne prouve rien.

📊 Tableaux de synthèse

Pondération par les prix ou la capitalisation