Division euclidienne et diviseurs

📋 Plan du Cours

1. Reconnaître une division euclidienne
2. Déterminer les diviseurs d’un nombre

📖 1. Reconnaître une division euclidienne

★ À maîtriser

📌 Dans une égalité de la forme $a=b\times g+r$, la division de a par b a pour quotient g et reste r seulement si $0\leq r<b$.

• Dans $28=3\times8+4$, la division par 3 n’est pas euclidienne car 4 est supérieur à 3, tandis que la division par 8 est euclidienne car 4 est inférieur à 8.

Compléments

• Dans $135=11\times12+3$, 3 est inférieur à 11 et à 12, donc l’égalité permet d’écrire la division de 135 par 11, de quotient 12 et de reste 3, ou de 135 par 12, de quotient 11 et de reste 3.

• Dans $51=6\times4+27$, 27 dépasse les deux facteurs 6 et 4, donc cette égalité ne décrit pas une division euclidienne par l’un ou l’autre.

• Dans $1084=33\times32+28$, 28 est inférieur à 33, donc l’égalité décrit la division de 1084 par 33, de quotient 32 et de reste 28.

📖 2. Déterminer les diviseurs d’un nombre

★ À maîtriser

• Pour déterminer les diviseurs d’un entier positif, on l’encadre entre deux carrés d’entiers consécutifs, on teste les entiers jusqu’à la racine carrée, puis on associe à chaque diviseur trouvé son quotient.

Compléments

• Pour 70, le cours donne l’encadrement $8^2<70<9^2$.

• Pour 35, le cours donne $5^2<35<6^2$ et les décompositions $35=1\times35$ et $35=5\times7$.